Uma conversa sobre números irracionais

(conversa informal, com a aluna Sara Martinho do 10º H, ao final de uma tarde no Solvmat)

Sara – Há outros números irracionais famosos... como o Pi? O Pi tem uma história... E raiz  quadrada de 2, não tem uma história, também...?

AB – Sim também há uma história associada à raiz de 2... Não sei bem se me lembro...  Às vezes acho que os professores de Matemática deviam saber um pouco mais sobre a História da Matemática. Mas há uns anos atrás isso não era tão importante... e depois passou a ser importante nos programas ...

Sara – O número de ouro também é um nº irracional, não é? Como é que posso saber alguma coisa sobre ele?

AB – Acho que podes encontrar algumas informações aqui, neste livro. Sobre o nº de ouro, a forma de construir um rectângulo de ouro...

          (...)

AB – Acho que me consigo lembrar da raiz de 2.  Sabes, os números irracionais são aqueles que nunca conseguimos representar sob a forma de fracção. Um nº racional é sempre possível de escrever na forma de fracção, um irracional não.  
Na Grécia antiga (também foi lá que começou a história do Pi) comparavam comprimentos de segmentos, isto é,  conseguia  medir-se o comprimento de um segmento usando outro como unidade. Usavam-se fracções, por exemplo   1/2    ou  3/5  ou   4/3 ...
Um dia, alguém tentou fazer isso com o lado de um quadrado e com a sua diagonal.
Imagina que o lado do quadrado era a unidade... E não conseguiram encontrar uma  fracção. Tentaram e não conseguiram.
Se o lado medir 1, a diagonal do quadrado mede  raiz de 2. É um nº irracional.
Por isso não há uma fracção ...

Sara – Mas ... Pi  nunca mais acaba, tem infinitas casas decimais, não é?

AB – Sim,  e não existe repetição. É uma dizima infinita não periódica. Se fosse periódica, como  4, 3737373737 ... seria um nº racional.  Nesses casos é possível encontrar uma fracção que represente o número.

Sara – E se eu fizer  Pi sobre dois... continua a ser um número irracional? Continua a ter infinitas casas decimais sem repetição...?

AB – Sim, Pi sobre dois também é irracional.

Sara – Mas é uma fracção!

AB – Ah, isso é um belo raciocínio!  Significa que estás mesmo a ouvir com atenção... Bem, eu esqueci-me  de algo ... os números irracionais não se conseguem representar por uma fracção   ... com numerador e denominador inteiros.
Tinha-me esquecido deste  “pormenor”! 

Sara – Há mais números irracionais famosos, além do Pi e do número de ouro?

AB – Estou a lembrar-me de mais um.  É o número “e”.  Chama-se nº de Neper, não me lembro bem se Neper é com um “pê” um com dois “pês”.  Esse  número também é irracional  e tem aplicações na Economia, por exemplo no cálculo de juros bancários ...

Sara – Hum... parece-me interessante. Vou procurar informações sobre esse!

                                                                                                 Ana  Baltazar
                                                                                           (Outubro de 2008 )